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Mathezirkel-Online-Treffen am 17.06.2023: "Fixpunktiteration und Fixpunktsatz"

Neue spannende Online-Treffen des Paderborner Mathezirkels im Frühjahr/Sommer 2023

Der Mathezirkel der Universität Paderborn dient der mathematischen Nachwuchsförderung und trifft sich im Frühjahr/Sommer 2023 an den Samstagen 22. April 2023, 13. Mai 2023 und 17. Juni 2023, jeweils von 10:00 bis 13:00 Uhr, online/virtuell mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton. Interessierte Schülerinnen und Schüler, die mit der Schulmathematik der Mittelstufe vertraut sind und die Spaß am logischen Denken haben, sind ganz herzlich zur Teilnahme eingeladen! Die neuen spannenden Themen der Mathezirkel-Treffen des Frühjahrs/Sommers 2023 lauten "Aufteilung von Flächen und unendliche Reihen""Die 365 Beweise des Satzes des Pythagoras" und "Fixpunktiteration und Fixpunktsatz". Genauere Informationen sowie das Anmeldeformular finden Sie unter: https://math.upb.de/mathezirkel 

Kontakt: AOR Dr. Kerstin Hesse

 

Raum und Uhrzeit: virtuell/online (mit der Videokonferenz-Software BigBlueButton) von 10:00 bis 13:00 Uhr

Fixpunktiteration und Fixpunktsatz

Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse

Beschreibung: Einen Punkt x, in dem f (x) = x für eine Funktion f gilt, nennt man einen Fixpunkt der Funktion f (weil x von f auf sich selbst abgebildet wird, also "fix" bleibt). Z.B. hat f (x) = x^3 zwei Fixpunkte, nämlich x = 1 und x = -1. Fixpunktgleichungen f (x) = x spielen an vielen Stellen in der Mathematik eine wichtige Rolle. Z.B. hilft es manchmal, ein Nullstellenproblem f (x) = 0 in eine Fixpunktgleichung g(x) = x mit einer geeigneten Funktion g (die von f abhängt) umzuwandeln. Dieses ist natürlich nur dann von praktischem Interesse, wenn sich die Nullstelle bzw. der Fixpunkt nicht einfach berechnen lässt. – Bei dem numerischen Verfahren der Fixpunktiteration zur Bestimmung eines Fixpunkts z einer Funktion f werden ausgehend von einem Startwert x_0 mit x_{n+1} = f (x_n), n = 0,1,2,..., nacheinander neue x-Werte berechnet. Es ist zunächst sehr überraschend, dass die Fixpunktiteration x_{n+1} = f (x_n), n = 0,1,2,..., unter geeigneten Voraussetzungen an f und für einen hinreichend guten Startwert x_0 mit wachsendem n durch x_{n+1} = f (x_n) immer bessere Näherungswerte für den Fixpunkt z liefert! Unter welchen Voraussetzungen das passiert, erklärt der Fixpunktsatz, der auch bewiesen wird. Wir wenden die Fixpunktiteration für verschiedene Beispiele an und untersuchen diese sowohl experimentell (Anwenden des Verfahrens) als aus theoretisch. – Die Programmierung der Fixpunktiteration erfolgt mit Excel-Tabellenkalkulation, d.h. du solltest Excel bzw. ein vergleichbares Programm zur Verfügung haben.